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一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

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一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

前文传送门:

「一本正经的聊数据结构(1):时间复杂度」

「一本正经的聊数据结构(2):数组与向量」

「一本正经的聊数据结构(3):栈和队列」

「一本正经的聊数据结构(4):树」

存储结构

前面的内容我们介绍了树和二叉树的一些基础概念,树是数据结构中的重中之重,而二叉树又是树结构中的重点。

一直以来,包括我上学的年代,对树和二叉树的掌握都是模棱两可,希望能通过这篇文章可以给各位讲清楚这些疑难点。

二叉树的存储结构分为两种,一种是顺序存储结构,另一种是链式存储结构

顺序存储结构

顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的节点,并且节点的存储位置,就是数组的下标索引。

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

存储在一维数组中的样子如下:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

这个示例是一个 完全二叉树 的示例, 完全二叉树 所对应的顺序存储刚好填满整个数组,但是如果二叉树不是 完全二叉树 的时候,采用顺序存储又是怎样的呢?

下图中浅色结点表示结点不存在:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

存储在一维数组中的样子如下:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

其中, 表示数组中此位置没有存储结点。可以看到,使用顺序存储已经造成了空间浪费的情况。

如果是极端的右斜二叉树,顺序存储情况会如何呢?

如下:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

存储在一维数组中的样子如下:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

可以看到,在顺序存储结构下,极端的右斜二叉树存储造成了存储空间的极大的浪费。

所以顺序存储方式一般适合完全二叉树。

链式存储结构

顺序存储结构有些无法满足二叉树的存储,那么我们考虑使用链式存储结构。

二叉树每个节点最多会有两个孩子,因此,可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。如下:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

那么刚才我们的那个完全二叉树的存储结构就可以这么展现:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

遍历

二叉树的 遍历 是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。

二叉树的遍历依据访问次序可以分为四种方式:

  • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
  • 层次遍历

前序遍历

简单来讲, 前序遍历 就是由根节点开始,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

还是用这个完全二叉树举例子:

一本正经的聊数据结构(5):二叉树的存储结构与遍历

当他进行前序遍历的时候,访问顺序如下:

从根结点出发,则第一次到达结点 A ,故输出 A ;

继续向左访问,第一次访问结点 B ,故输出 B ;

按照同样规则,输出 D ,输出 H ;

当到达叶子结点H,返回到 D ,此时已经是第二次到达 D ,故不在输出 D ,进而向 D 右子树访问, D 右子树不为空,则访问至 I ,第一次到达 I ,则输出 I ;

I 为叶子结点,则返回到 D , D 左右子树已经访问完毕,则返回到 B ,进而到 B 右子树,第一次到达 E ,故输出 E ;

向E左子树,故输出 J ;

按照同样的访问规则,继续输出 C 、 F 、 G 。

所以,这个完全二叉树的前序遍历结果为: ABDHIEJCFG

中序遍历

中序遍历 就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

还是上面的完全二叉树,访问顺序如下:

从根结点出发,则第一次到达结点 A ,不输出 A ,继续向左访问,第一次访问结点 B ,不输出 B ;继续到达 D , H ;

到达 H , H 左子树为空,则返回到 H ,此时第二次访问 H ,故输出 H ;

H 右子树为空,则返回至 D ,此时第二次到达 D ,故输出 D ;

由 D 返回至 B ,第二次到达 B ,故输出 B ;

按照同样规则继续访问,输出 J 、 E 、 A 、 F 、 C 、 G ;

所以,中序遍历的结果为: HDIBJEAFCG

后序遍历

后序遍历 就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。

后序遍历 的访问顺序如下:

从根结点出发,则第一次到达结点 A ,不输出 A ,继续向左访问,第一次访问结点 B ,不输出 B ;继续到达 D , H ;

到达 H , H 左子树为空,则返回到 H ,此时第二次访问 H ,不输出 H ;

H 右子树为空,则返回至 H ,此时第三次到达 H ,故输出 H ;

由 H 返回至 D ,第二次到达 D ,不输出 D ;

继续访问至 I , I 左右子树均为空,故第三次访问 I 时,输出 I ;

返回至 D ,此时第三次到达 D ,故输出 D ;

按照同样规则继续访问,输出 J 、 E 、 B 、 F 、 G 、 C , A ;

所以,后序遍历的结果为: HIDJEBFGCA

层次遍历

层次遍历 就是按照树的层次自上而下的遍历二叉树。

层次遍历的访问顺序如下:

从根节点出发,第一个到达节点 A ,直接输出 A ;

继续向左访问,到达节点 B ,输出节点 B ,继续访问节点的右节点 C ,输出节点 C ,此时,第二层访问结束,继续访问第三层;

访问节点 B 的左节点 D ,输出 D ,继续访问节点 B 的右节点 E ,输出节点 E ;

剩下依次访问节点 F 、 G 、 H 、 I 、 J 。

所以层次遍历的结果为: ABCDEFGHIJ

小结

本文介绍了二叉树的存储结构以及四种遍历方式,各位看完了应该对二叉树有一个初步的认知,如果不涉及一些变种的二叉树,仅二叉树的基础内容而言,还是比较简单的,希望各位同学能够自己思考下,在大脑中能建立出一个二叉树的模型,方便后面的学习。

参考

https://www.jianshu.com/p/bf73c8d50dc2

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